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從上面的推導(dǎo)過(guò)程我們可以看出，振型分解就是將質(zhì)點(diǎn)的水平運(yùn)動(dòng)在一個(gè)新的廣義基上度量，將本來(lái)三個(gè)質(zhì)點(diǎn)三個(gè)水平方向上的自由度轉(zhuǎn)換為在三個(gè)振型方向上的自由度，每個(gè)振型將三個(gè)孤立的質(zhì)量聯(lián)系到了一起，這樣的轉(zhuǎn)換有什么好處呢？解釋這個(gè)問(wèn)題這需要用到振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性原理。振型正交性的表達(dá)式為：當(dāng)時(shí)，式中K與M為矩陣形式，它的物理意義可以用三維空間坐標(biāo)系來(lái)類比說(shuō)明，如下圖：

運(yùn)動(dòng)在空間中可以分解到x、y、z三個(gè)自由度方向，外力也可以在同一坐標(biāo)系下分解，每個(gè)方向的力只引起相應(yīng)方向的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)以振型形狀為坐標(biāo)進(jìn)行分解時(shí)，作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的動(dòng)力也向由振型變換的某個(gè)向量上分解，由上節(jié)所述，在此向量上剛度矩陣與質(zhì)量矩陣的比值為一常數(shù)特征值，此時(shí)每個(gè)振型方向的外力只引起相應(yīng)振型的運(yùn)動(dòng)，對(duì)其它振型的影響為0。因此我們可以仿效三維空間下運(yùn)動(dòng)的求解思路，將位移與外力進(jìn)行分解，從而可以實(shí)現(xiàn)各振型之間的解耦，把三個(gè)聯(lián)立微分方程拆分為3個(gè)獨(dú)立的微分方程，使求解大大簡(jiǎn)化。

現(xiàn)在把有阻尼和外力的完整的多自由度微分方程寫(xiě)出如下，為了表達(dá)方便，將矩陣和向量用粗體字母表示：式中地震振動(dòng)已經(jīng)寫(xiě)成等效慣性力的形式，將位移按振型分解，，將其代入上式，得：上式左右各乘以，利用振型的正交性，消去正交項(xiàng)，得：，設(shè)，叫做第n振型的模態(tài)質(zhì)量，兩邊同除以，利用單自由度體系，，可化簡(jiǎn)為

得，設(shè)為，即為抗規(guī)5.2.2條中的振型參與系數(shù)。

我們還可以直接將振動(dòng)與外力都分解到各振型上直接計(jì)算，位移分解方法前面已經(jīng)得到，現(xiàn)在推導(dǎo)外力的分解方法。地震力的分布我們已經(jīng)知道，如下圖所示：

外部動(dòng)力的特點(diǎn)是隨時(shí)間變化的部分在各質(zhì)點(diǎn)上是相同的，不同的是前面的系數(shù)部分、、，我們把它寫(xiě)成向量形式因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)上的慣性力、阻尼力與回復(fù)力都和質(zhì)量與位移的函數(shù)成正比，對(duì)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力進(jìn)行分解時(shí)，需要將這個(gè)向量向以質(zhì)量矩陣與振型向量之積構(gòu)成的廣義基上分解

即將質(zhì)量向量寫(xiě)成

寫(xiě)成字母的形式為：

兩邊同乘以，，得，，，得，，

這樣就將向量拆分為、，三個(gè)分量。

將位移與慣性力均在振型n上展開(kāi)，得：

，兩邊同乘，得：

從而可以得出和前面推導(dǎo)相同的結(jié)論。這樣我們就實(shí)現(xiàn)了將三個(gè)耦連的由位移表示的方程，按照振型，拆分成了三個(gè)獨(dú)立的方程，眾所周知，n個(gè)獨(dú)立方程求解速度比n個(gè)耦連方程要快的多，從而大大加快了求解速度。

當(dāng)我們思考事物的聯(lián)系時(shí)，很多道理是相通的

下面我們來(lái)計(jì)算上面三自由度體系的地震內(nèi)力。前面我們已經(jīng)求出振型、頻率如下：

我們首先求出第一振型的地震力分布：

根據(jù)按照同樣思路，我們可以求出振型2和振型3的振型參與系數(shù)與地震力分布

至此我們就求出了各振型在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的地震力分布（即任一時(shí)刻地震力大小的相對(duì)值），分布形式與振型的形狀相同，如下圖所示：

略去計(jì)算誤差，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的三個(gè)力的代數(shù)和都等于1，即等于總的地震力分布。每個(gè)振型分配在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的動(dòng)力為上圖中的數(shù)值與之積，也就是在任一時(shí)刻，某個(gè)振型不同質(zhì)點(diǎn)上作用的動(dòng)力隨時(shí)間的變化關(guān)系是相同的，唯一不同的是幅值。

我們將多自由度在各振型上的振動(dòng)方程和單自由度運(yùn)動(dòng)方程對(duì)比：

可以看出，，因?yàn)閱钨|(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力計(jì)算是最簡(jiǎn)單的，所以我們可以先計(jì)算出單質(zhì)點(diǎn)的位移，就可以求出第n振型的振型位移，再根據(jù)位移與振型位移的關(guān)系可求出第n振型對(duì)位移的貢獻(xiàn)。至此我們就由單自由度的位移結(jié)果求出了各振型的位移結(jié)果，然后在任一時(shí)刻將各振型的結(jié)果簡(jiǎn)單疊加就可以得到每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移，再進(jìn)行一階與二階求導(dǎo)就可以求各質(zhì)點(diǎn)的速度與加速度。

參考文獻(xiàn)：

1. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)—理論及其在地震工程中的應(yīng)用（第四版） Anil K. Chopra

2. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)（第二版） R. Clough

來(lái)源：結(jié)構(gòu)茶館